Calculo Diferencial

Calculo Diferencial

Límite: Línea real o imaginaria que marca el fin de una superficie o cuerpo o la separación entre dos entidades.

Derivada: En una función, límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero.

Integral: Que comprende todos los aspectos o todas las partes necesarias para estar completo.

"plan de desarrollo integral; educación integral; desnudo integral;

Discontinuidad: Asegúrate de que todas las palabras estén escritas correctamente.

·       Prueba diferentes palabras clave.

·       Prueba palabras clave más generales.

·       Prueba menos palabras clave.

Problema

Una empresa de fabricación de puertas de madera utiliza un tablón rectangular para la hoja y tres listones de 10cm de ancho para el marco (lados laterales y lado superior). El precio del tablón es de $128 por metro cuadrado y el de los listones es de $87 por metro lineal.

Calcular:

a)    Las dimensiones de una puerta de 2  de superficie de hoja para que el coste sea mínimo. ¿Cuál será su precio?

b)    Si la puerta es de 2.5 metros de ancho y 0.8 metros de alto, ¿cuál es su precio?

Solución:

Sean x e y la anchura y altura de la hoja de la puerta, respectivamente. Como la superficie de la hoja es 2m2 , tenemos que

Como la anchura de los listones es de 10cm, la longitud del listón del lado superior debe ser (escribimos 0.1 ya que los precios son por metro)

La longitud de los dos listones de los lados laterales debe ser

El coste total es el coste de la hoja más el del marco. El coste de la hoja es

El coste del listón superior es

Y el coste de los listones laterales es

Por tanto, el coste total es

Como tenemos dos variables, escribimos y en función de x:

Calculamos la derivada:

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación para buscar los puntos críticos:

Situamos los puntos críticos en la recta real y estudiamos el signo de la derivada en los 4 intervalos:

Escogemos x=−3 para el primer intervalo, x=−1 para el segundo, x=1 para el tercero y x=3 para el cuarto:

La función es creciente para x≤−2, decreciente en el intervalo [−2,2] y creciente para x≥2. Además, tiene un en x=2.

Las dimensiones son 

Es decir, 2 metros de ancho y 1 de alto.

Calculamos el coste:

Luego el coste total de la puerta es $621.4.

Evaluando la función en (x=2.5),